確率論 (2019年度)
お知らせ
- 2019.04.09 中間試験は6月4日(火)3限です。期末試験は期末試験期間中で、たぶん8月6日(火)3限だろうと思いますが、教務課発表の試験期間中の時間割の発表までは確定しません。
- 2019.04.01 金曜日の開講では6月に3回の休講が生じ、土曜日の補講日と学期末の補講等調整期間をフルに活用しないといけなくなるため、今年度は火曜日3限に開講時間帯を移しました。
第１回 2019.04.09
久保木先生の教科書の第１章の内容と、二項分布と正規分布の基礎的な事柄は、高校の数学Ａと数学Ｂの範囲です。確率関数や確率密度関数も、高校で紹介されます。それらを、前晩に学んだため、急遽、成績には反映させない小テストを実施して、皆さんの数学の知識と、高校までの数学科目の履修状況を教わってみました。等比級数の和や、指数関数の定積分が、あまりお得意ではないような印象を受けました。またWebClassの出席アンケートから、数学Ａと数学Ｂの履修率がとても高いことを教わりました。
講義の内容は、まず事象と標本空間の関係が集合論の基礎を用いて整理されることから、説明を始めました。集合論自体については、ベン図もあまり描かずに省略しました。
- 事象＝標本空間の部分集合
- 標本空間
- 和事象
- 積事象
- 余事象
そして確率が付与される部分集合の全体を(完全)加法族と呼ぶことを宣言しました。久保木先生の教科書は、可算加法性から始まっていますが、工学部での講義と思い、あまり触れませんでした。理学部なら逆に、第1章と第2章は測度の話まで入り込んでいきます。ここまでが確率論の準備です。
確率の公理は、コルモゴロフによって定められたものです。
- 事象が起こる確率は0以上1以下
- 標本空間の中の何かが起こる確率は1 (Pr[Ω]=1)
- 可算個の互いに排反な事象列の和集合の確率は、個々の事象の確率の和
公理の１つめから例えば、確率を計算せよ、という問題を解いて負の値や１あるいは100%以上の数値を得たら、確実に誤りです。観測していて、標本空間の中のいずれかが起こる確率は1です。また、確率がそのまま足せるのは、対応する２事象が互いに排反(共通集合がφ)の場合のみです。
この３つと集合間の演算とから、加法法則や乗法法則が導かれていきます。
- ある事象が起こらない確率は、1-その事象が起こる確率
- 何も起こらない確率は0 (Pr[φ]=0)
- ある２つの事象の少なくともいずれか一つが起こる確率は、それぞれの事象の確率の和から、双方が同時に起こる確率を引いて求まる (加法法則)
ここまでで今日は終わり。第１章はおよそ既習得の内容でしょうから、例年より早めに進行しています。次回は、条件付き確率と周辺確率を定め、乗法法則を与え、ベイズの定理と章末問題を説明します。そして第２章に入ります。