Applied Statistics and Data Mining

markovchainパッケージは、離散状態離散時間マルコフ過程(通称は離散マルコフ過程、あるいはマルコフ連鎖)をRで扱うのに便利な機能を提供する。以下の説明は、https://cran.r-project.org/web/packages/markovchain/vignettes/an_introduction_to_markovchain_package.pdfに基づいている。

• An introduction to Markov chains using R
• Markov chain analysis with R
• Crash introduction
• An introduction

このパッケージはR 3.5.0以上を必要とする。各自でダウンロードしてインストールする必要があるかもしれない。

マルコフ過程に基づいて現象の性質を明らかにしたり、未来の時点のおける状態の確率分布を推定することなどを、マルコフ解析という。

マルコフ解析に必要なものは、現在の状態もしくは初期の状態と、対象の状態遷移行列である。

• 状態
• 状態遷移行列

天気の移り変わりを例に説明を進める。

weatherStates <- c("sunny", "cloudy", "rain")

byRow <- TRUE

 weatherMatrix <- matrix(data = c(0.70, 0.2, 0.1,
 0.3, 0.4, 0.3,
 0.2, 0.45, 0.35), byrow = byRow, nrow = 3,
 dimnames = list(weatherStates, weatherStates))

mcWeather <- new("markovchain", states = weatherStates, byrow = byRow,
 transitionMatrix = weatherMatrix, name = "Weather")

上で定義したマルコフ連鎖を確認しておく。

weatherStates
weatherMatrix
mcWeather

さて、初期状態は曇りcloudy。

initialState = c(0, 1, 0)

二日後の天気の確率分布を求めてみる。

after2Days <- initialState * (mcWeather * mcWeather)

求めた確率分布を確認する。

after2Days

７日後の天気の条件付き確率分布を推定する。

after7Days <- initialState * (mcWeather ^ 7)

求めた確率分布を確認する。

after7Days

こんなに長い桁は必要ないので、四捨五入して小数点以下第３位まで表示してみる。

round(after7Days, 3)

状態を列ベクトルで表すなら、すべてを転地すればいい。

initialState <- c(0, 1, 0)
after2Days <- (t(mcWeather) * t(mcWeather)) * initialState
after7Days <- (t(mcWeather) ^ 7) * initialState
after2Days

fvals<-function(mchain,initialstate,n) {
out<-data.frame()
names(initialstate)<-names(mchain)
for (i in 0:n)
{
iteration<-initialstate*mchain^(i)
out<-rbind(out,iteration)
}
out<-cbind(out, i=seq(0,n))
out<-out[,c(4,1:3)]
return(out)
}
fvals(mchain=mcWeather,initialstate=c(90,5,5),n=4)

関数statesはマルコフ連鎖のオブジェクトmcWeatherの中の状態の一覧を表示させる。

states(mcWeather)

関数namesもstatesと同じ動作をする。

names(mcWeather)

関数dimは状態数を返す。

dim(mcWeather)

関数nameはマルコフ連鎖の名前を返す。これはnewで作成するときにつけている。

name(mcWeather)

markovchain:::sort(mcWeather)

transitionProbability(mcWeather, "cloudy", "rain")

mcWeather[2,3]

print(mcWeather)

show(mcWeather)

plot(mcWeather, package="diagram",box.size = 0.04)

mcDf <- as(mcWeather, "data.frame")
mcNew <- as(mcDf, "markovchain")
mcDf

mcIgraph <- as(mcWeather, "igraph")

require(msm)
Q <- rbind ( c(0, 0.25, 0, 0.25),
c(0.166, 0, 0.166, 0.166),
c(0, 0.25, 0, 0.25),
c(0, 0, 0, 0) )
cavmsm <- msm(state ~ years, subject = PTNUM, data = cav, qmatrix = Q, death = 4)
msmMc <- as(cavmsm, "markovchain")
msmMc

myMatr<-matrix(c(.1,.8,.1,.2,.6,.2,.3,.4,.3), byrow=TRUE, ncol=3)
myMc<-as(myMatr, "markovchain")
myMc

conditionalDistribution(mcWeather, "sunny")

steadyStates(mcWeather)

absorbingStates(mcWeather)

summary(mcWeather)

transientStates(mcWeather)

is.accessible(object = mcWeather, from = "sunny", to = "cloudy")

period(mcWeather)

firstPassage(object = mcWeather, state = "sunny",n = 10)

状態遷移のデータがあるとする。

Alofi島の１日あたりの降雨のデータがある。

data(rain)

このデータは、２つのフィールドV1とrainを持つ。使うのは rain の方。 一日ごとの推移を集計してみる。

table(data.frame(before=rain$rain[-1], after=rain$rain[-length(rain$rain)]))

出力は次の通り。

      after
before   0 1-5  6+
   0   362 136  50
   1-5 126  90  79
   6+   60  68 124

この推移をグラフに表してみる。Gmiscパッケージの中の関数transitionPlotを使うために、準備をする。

install.packages(c("rms","sandwich","stringr","Hmisc"))
reps = c("http://ftp.sunet.se/pub/lang/CRAN","http://cran.gforge.se")
install.packages("Gmisc", repos=reps, dependencies=TRUE, type="source")

そして、使ってみる。

require(Gmisc)
transitionPlot(table(data.frame(r1=rain$rain[-1],r2=rain$rain[-length(rain$rain)])),
  overlap_add_width=1.2,type_of_arrow="gradient",
  min_lwd = unit(2, "mm"), max_lwd = unit(15, "mm"),cex=1.5)

library(dplyr)
library(stringr)
library(DiagrammeR)
library(networkD3)

この準備で頑張ると、こんなグラフも描けるらしい。

この推移から、遷移行列を推定する。

markovchainFit(rain$rain, method="mle", byrow=TRUE)

次の推定値などが表示される。

$estimate
            0       1-5        6+
0   0.6605839 0.2299270 0.1094891
1-5 0.4625850 0.3061224 0.2312925
6+  0.1976285 0.3122530 0.4901186


$standardError
             0        1-5         6+
0   0.03471952 0.02048353 0.01413498
1-5 0.03966634 0.03226814 0.02804834
6+  0.02794888 0.03513120 0.04401395

$confidenceLevel
[1] 0.95

$lowerEndpointMatrix
            0       1-5         6+
0   0.6034754 0.1962346 0.08623909
1-5 0.3973397 0.2530461 0.18515711
6+  0.1516566 0.2544673 0.41772208

$upperEndpointMatrix
            0       1-5        6+
0   0.7176925 0.2636194 0.1327390
1-5 0.5278304 0.3591988 0.2774279
6+  0.2436003 0.3700387 0.5625151

$logLikelihood
[1] -1040.419

rain.MCに代入しておく。

rain.mcfit <- markovchainFit(rain$rain, method="mle", byrow=TRUE)

返して貰った内容を見てみる。

str(rain.mcfit)

rain.MCはS3オブジェクトのリストだが、rain.MC$estimateはS4オブジェクトとややこしい。 遷移行列を行列として取り出すには、次のようにリストの名前とその中のスロットを指定する。

rain.mcfit$estimate@transitionMatrix

これによって新たなマルコフ連鎖を定義するには、次のように書く。

mcrain = new("markovchain", states = rain.mcfit$estimate@states,
      byrow = TRUE,
      transitionMatrix = rain.mcfit$estimate@transitionMatrix, name = "rain")

関数markovchainFitは、markovchainオブジェクトをリストの要素として出力しているので、そちらを使うのも良い。

mcrain = rain.mcfit$estimate

rain.mcfit <- markovchainFit(rain$rain, method="laplace", laplacian=0.5, byrow=TRUE)